확률과 통계
시점 – 사물이나 현상을 바라보는 눈 (8)
지난 호에서는 개별 관찰, 집단 관찰, 확률과 통계에 관한 주제의 두 번째 이야기로 ‘집단 관찰’에 관한 이야기를 소개하였다. 압력, 온도, 비중, 밀도의 개념에 관한 이야기를 시작으로 기체, 액체, 고체의 성질과 온도에 따른 수축·팽창 현상에 이르기까지 집단 관찰이라는 시각에서 자연현상을 생각해 보았다.
이번 호에서는 개별 관찰, 집단 관찰, 확률과 통계에 관한 주제의 세 번째 이야기로 ‘확률과 통계’에 관해서 생각해 보기로 한다. 통계는 장단점을 숙지하고 활용하면 매우 유용하지만, 가정과 약점을 이해하지 못하고 사용하게 되면 의도와는 다르게 엉뚱한 결론에 도달할 수 있다. 몇 가지 구체적 사례를 바탕으로 확률과 통계에 얽힌 이야기를 소개하고자 한다.
■ 연재순서
제1회 호기심
제2회 암중모색
제3회 관찰의 시점과 관점
제4회 정적 이미지와 동적 이미지
제5회 변화와 흐름의 관찰
제6회 개별 관찰
제7회 집단 관찰
제8회 확률과 통계
제9회 작용, 반작용, 상호작용
제10회 무엇을 볼 것인가?
제11회 무엇을 믿을 것인가?
제12회 가설, 모델, 이론의 설득력의 시대성
■ 유우식
웨이퍼마스터스의 사장 겸 CTO이다. 동국대학교 전자공학과, 일본교토대학 대학원과 미국 브라운대학교를 거쳐 미국 내 다수의 반도체 재료 및 생산 설비 분야 기업에서 반도체를 포함한 전자재료, 공정, 물성, 소재 분석, 이미지 해석 및 프로그램 개발과 관련한 연구를 진행하고 있다. 경북대학교 인문학술원 객원연구원, 국민대학교 산림과학연구소 상임연구위원, 문화유산회복재단 학술위원, 국제문화재전략센터 전문위원이다.
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그림 1. 확률은 때로는 호의적이고 때로는 적대적이다. 우연일까 필연일까?
확률
확률(probability)은 어떤 일이 일어날 가능성 또는 개연성으로, 일어날 가능성이 있는 비율이나 빈도로 표현한다.(그림 1) 확률은 수학적으로 계산된 확률과 실제로 일어난 일을 바탕으로 계산한 경험적 확률이 있다. 모든 경우의 수에 대해 그 일이 일어날 경우의 수를 수학적으로 계산한 것을 수학적 확률이라고 한다. 수학적 확률은 모든 경우의 수 중에서 어떤 일이 일어날 경우의 수를 비율로 나타낸다. 예를 들어 정육면체인 주사위는 6개의 동일한 크기와 각도를 가지고 있어 주사위를 던졌을 때 나타날 수 있는 눈의 모든 경우의 수는 6이다. 그중에 어떤 눈이 나올 확률은 1/6이다. 반대로 경험적 확률은 실제로 주사위 던지기를 무수히 반복했을 때 나타난 확률로 경험을 바탕으로 추측한 값이다.
수학적 확률은 물리학, 화학, 생물학 등의 과학 분야와 다양한 공학 분야를 비롯하여 스포츠, 도박, 복권 추첨과 같은 분야에서도 활용되고 있다. 다루는 대상이 무수히 많은 원자, 분자, 전자 등의 경우 통계 역학에서 이를 확률적으로 계산하고, 물질과 에너지의 상호 작용을 양자 역학에서는 확률로 계산한다.
확률은 비율로 표시하면 0에서 1 사이의 값을 갖는다. 확률 0은 그 일이 절대로 일어나지 않는다는 0%를 의미하고, 확률 1은 그 일이 100% 일어난다는 것을 의미한다.
수학적 확률
그림 2. 확률과 경우의 수
룰렛 돌림판과 정육면체 주사위를 사용하여 수학적 확률을 계산해 보자. 룰렛 돌림판은 6등분되어 있고 주사위도 6면이 있다.(그림 2) 따라서 룰렛의 화살이 어떤 영역에서 멈출 확률은 1/6이다. 주사위 또한 어느 눈이 나올 확률은 1/6이다. 물론 룰렛 돌림판의 축이 한 가운데 있어서 어느 특별한 곳이 멈추기 쉽게 되어 있지 않다는 것이 전제조건이다. 주사위 또한 마찬가지로 어느 특별한 눈이 나오기 쉽게 되어 있지 않다는 것이 전제된다.
확률 0은 정해진 경우의 수 가운데 어떤 일이 일어나지 않는다는 것을 의미하지만, 예상 외의 일이 일어날 가능성까지 없다고 할 수는 없다. 실제로 룰렛 돌림판의 점수는 가는 선으로 구획된 칸을 기준으로 계산되지만, 화살표가 칸 사이의 눈금에서 멈추는 일도 있다. 이런 일은 룰렛 돌림판의 점수 체계에서 계산된 수학적 확률은 0이지만, 실제 게임에선 종종 발생한다. 이것은 점수 체계가 각 칸의 점수로만 계산하고 화살표가 눈금 위에 멈추는 경우는 고려하지 않았기 때문이다. 눈금 선의 두께를 고려하여 화살이 선 위에 멈출 가능성까지 고려하여 확률을 계산할 수도 있다. 눈금의 두께는 다른 칸의 각도에 비해서 매우 작으므로 선위에 화살이 멈출 확률은 매우 작을 것이다. 비슷한 사례는 주사위의 한 면이 지면에 닿지 않고 기울어져 있는 경우를 들 수 있다.
윷놀이에서 경우의 수와 확률을 계산할 때도 윷가락이 완전하게 엎어지거나 젖혀지지 않아 판정이 애매한 일도 생긴다. 그런 애매한 조건까지 고려한 경우의 수를 정확하게 판단해서 확률을 계산하는 것은 쉽지 않다.
n 개의 주사위로 나올 수 있는 숫자
주사위 하나의 경우는 1부터 6까지 1/6의 확률로 나올 수 있으리라는 것은 쉽게 이해할 수 있다. 주사위 두 개를 던질 때의 경우의 수와 확률은 어떻게 될까? <그림 3>처럼 모든 숫자의 조합을 표로 정리해서 보면, 두 개의 주사위에서 나온 숫자의 합은 2부터 12까지의 숫자가 나올 수 있으며 숫자에 따라서 확률이 달라진다. 이것도 수학적 확률에 지나지 않는다. 실제로 두 개의 주사위를 던져 보면 왼쪽의 확률 분포가 되지는 않는다. 상당히 많은 실험을 해야 비슷한 분포가 될 것이다.
그림 3. 두 개의 주사위를 던져서 나오는 수의 합
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작성일 : 2025-08-04